目录
- 总体均值
- 离散型随机变量
- 连续型随机变量
- 样本均值
总体均值
离散型随机变量
设离散型随机变量 X X X的分布律是 p ( x i ) p(x_i) p(xi)， i = 1 , 2 , … i = 1, 2, \ldots i=1,2,…，若
∑ i ∣ x i ∣ p ( x i ) < + ∞ \sum_{i} |x_i| p(x_i) < +\infty i∑∣xi∣p(xi)<+∞
则称
E ( X ) = ∑ i x i p ( x i ) E(X)=\sum_{i} x_i p(x_i) E(X)=i∑xip(xi)
为离散型随机变量 X X X的数学期望，简称期望或均值。
- 分布律 p ( x i ) p(x_i) p(xi)：表示随机变量 X X X取各个可能值 x i x_i xi的概率。
- 条件：如果 ∑ i ∣ x i ∣ p ( x i ) < + ∞ \sum_{i} |x_i| p(x_i) < +\infty ∑i∣xi∣p(xi)<+∞，即所有可能值的绝对值与对应概率的乘积之和是有界的，则可以计算数学期望。
- 数学期望
E
(
X
)
E(X)
E(X)：通过以下公式计算：
E ( X ) = ∑ i x i p ( x i ) . E(X) = \sum_{i} x_i p(x_i). E(X)=i∑xip(xi).
离散型随机变量的期望值是所有可能值与其对应概率的乘积之和。
连续型随机变量
设连续型随机变量
X
X
X的概率密度是
f
(
x
)
f(x)
f(x)，若
∫
−
∞
+
∞
∣
x
∣
f
(
x
)
d
x
<
+
∞
,
\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x) \, {\rm d}x < +\infty,
∫−∞+∞∣x∣f(x)dx<+∞,
则称
E
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, {\rm d}x
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
为连续型随机变量
X
X
X的数学期望，简称期望或均值。
这个定义说明了如何计算连续型随机变量的期望值。具体来说：
- 首先，要求积分 ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x) \, dx ∫−∞+∞∣x∣f(x)dx是有限的。
- 然后，通过计算 ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx ∫−∞+∞xf(x)dx来得到连续型随机变量 X X X的期望值 E ( X ) E(X) E(X)。
这种定义方式与离散型随机变量的期望值计算类似，但使用的是积分而不是求和。
样本均值
设 x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1,x2,…,xn为取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，一般用 x ˉ \bar{x} xˉ表示，即
x ˉ = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = 1 n ∑ i = 1 n x i . \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i. xˉ=nx1+x2+⋯+xn=n1i=1∑nxi.
-
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_1, x_2, \ldots, x_n
x1,x2,…,xn是从总体中抽取的样本值。
-
n
n
n是样本的数量。
- 样本均值 ( x ˉ \bar{x} xˉ)：是一组数据的算术平均值。
- 公式：样本均值通过将所有样本值相加后除以样本数量 n n n来计算。
